Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝，AB＝l，E是DD₁的中点．

(Ⅰ)求证：AC⊥B_lD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)证明： 　　连结BD． 　　∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱， 　　∴B1B⊥平面ABCD， 　　∴BD是B1D在平面ABCD上的射影， 　　∵AC⊥BD， 　　根据三垂线定理得，AC⊥B1D．　　5分 　　(Ⅱ)解： 　　设AC∩BD＝F，连结EF． 　　∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD， 　　根据三垂线定理得AC⊥FE，　又AC⊥FB， 　　∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角．　　9分 　　在Rt△EDF中，由DE＝DF＝，得∠EFD＝45°．　　12分 　　∴∠EFB＝180°－45°＝135°， 　　即二面角E－AC－B的大小是135°．　　13分 　　解法二： 　　∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱， 　　∴DA、DC、DD1两两互相垂直． 　　如图，以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．　　1分 　　D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，)．　　3分 　　(Ⅰ)证明： 　　∵＝(－1，1，0)，＝(1，1，)， 　　∴·＝0， 　　∴AC⊥B1D．　　6分 　　(Ⅱ)解： 　　连结BD，设AC∩BD＝F，连结EF． 　　∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD， 　　∴AC⊥FE，AC⊥FB， 　　∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角．　　9分 　　∵底面ABCD是正方形 　　∴F， 　　∴，　　12分 　　∴二面角E-AC-B的大小是135°　　13分