Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）要求函数f（x）+g（x）的定义域，我们可根据让函数解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组即可得到函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）要判断f（x）+g（x）的奇偶性，我们根据奇偶性的定义，先判断其定义域是否关于原点对称，然后再判断f（-x）+g（-x）与f（x）+g（x）的关系，结合奇偶性的定义进行判断；
（3）若f（x）-g（x）＞0，则我们可以得到一个对数不等式，然后分类讨论底数取值，即可得到不等式的解．

解答：解：（1）f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）．
若要上式有意义，则

x+1＞0 1-x＞0

，
即-1＜x＜1．
所以所求定义域为{x|-1＜x＜1}
（2）设F（x）=f（x）+g（x），
则F（-x）=f（-x）+g（-x）
=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=F（x）．
所以f（x）+g（x）是偶函数．
（3）f（x）-g（x）＞0，
即log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

解得-1＜x＜0．
当a＞1时，原不等式等价于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，
解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．

点评：求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．