Question

已知函数，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，若非零常数λ使得{b_n}为等差数列，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据对数的运算性质，可将的解析式化简为，进而由对数的运算性质，结合，求出数列{a_n}的通项公式；
（II）结合，且{b_n}为等差数列，可求出λ的值，进而求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法，得到数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（I）∵=+log₂x=log₂x+log₂x=
∴==，
故a_n=4n-3
（II）由（I）得S_n=2n²-n，要使=为等差数列的通项公式
则b_n=应是关于n的一次函数，又由λ≠0
故λ=-
此时b_n=2n，=2n•4ⁿ，
故T_n=2•4¹+2×2•4²+…+2（n-1）•4^n-1+2n•4ⁿ，…①
4T_n=0+2•4²+4•4³+…+2（n-1）•4ⁿ+2n•4ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-3T_n=2•4¹+2•4²+…+2•4ⁿ-2n•4ⁿ⁺¹=（-2n）4ⁿ⁺¹-
∴T_n=（n-）4ⁿ⁺¹+
点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，对数的运算性质，数列求和，是对数与数列的综合应用，难度较大．