Question

已知函数f（x）=a^x+（a＞1）.

（1）求证：f（x）在（-1，+∞）上为增函数；

（2）若a=3，求方程f（x）=0的正根（精确到0.01）.

Answer 1

解析:问题（1）可依据增函数定义通过作差通分来求证，问题（2）可以通过用二分法，根据题目精确度的要求，只需进行有限次的重复运算便可得解，求出方程f（x）=0的正根.

（1）证明：任取x₁、x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，

    则x₂-x₁＞0，＞1，且a^x1＞0，

∴＞0，

又∵x₁+1＞0，x₂+1＞0，

∴-=＞0，

    于是f（x₂）-f（x₁）=+-＞0，

    故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数.

（2）解：由（1）知，当a=3时，f（x）=3^x+也在（-1，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）也单调递增，因此f（x）=0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根.由于f（0）=-1＜0，f（1）=＞0，取［0，1］为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：

区  间	中  点	中点函数值
［0，1］	0.5	0.732
［0，0.5］	0.25	-0.084
［0.25，0.5］	0.375	0.322
［0.25，0.375］	0.312 5	0.124
［0.25，0.312 5］	0.281 25	0.021
［0.25，0.281 25］	0.265 6	-0.032
［0.265 6，0.281 25］	0.273 43	-0.005 52
［0.273 43，0.28 125］

    由于区间［0.273 43，0.281 25］的长度为0.007 82＜0.01，所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.