Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)两焦点为F₁，F₂，若椭圆上存在点P，使得PF₁⊥PF₂，则椭圆离心率的取值范围为

[

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：根据题意，可得以F₁F₂为直径的圆与椭圆C有公共点，因此椭圆短轴的顶点在该圆上或在该圆的内部．由此建立关于a、b、c的不等关系，化简解出a≤

2

c，即可得出椭圆C的离心率的取值范围．

解答：解：∵点P满足PF₁⊥PF₂，
∴点P的轨迹是以F₁F₂为直径的圆，其方程为x²+y²=c²．
又∵椭圆上存在点P，使得PF₁⊥PF₂，
∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆C有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，
∴b≤c，即

a2-c2

≤c，化简得a²≤2c²，解得a≤

2

c．
因此，椭圆C的离心率e=

c

a

≥

2

2

．
∵椭圆离心率在（0，1）之间取值，
∴椭圆C的离心率e∈[

2

2

，1）．
故答案为：[

2

2

，1）

点评：本题给出椭圆上存在点P，使点P对两个焦点的张角为直角，求椭圆离心率的取值范围．着重考查了椭圆的基本概念与简单几何性质、直线的位置关系与圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．