Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦函数可将f（x）化简为f（x）=sin（2x-

π

6

），从而可求函数f（x）的最小正周期；
（2）x∈[-

π

12

，

π

2

]⇒2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]⇒f（x）=sin（2x-

π

6

）在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减；从而可求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减； 
∴f（x）_max=f（

π

3

）=sin（2×

π

3

-

π

6

）=1； 
又∵f（-

π

12

）=-

3

2

＜f（

π

2

）=

1

2

，
∴f（x）_min=f（-

π

12

）=-

3

2

；
∴函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域是[-

3

2

，1]．

点评：本题考查两角和与差的正弦，考查辅助角公式及三角函数的周期，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．