Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求这两个数列的对应各项相乘所得新数列的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出{a_n}的公差，{b_n}的公比，利用a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，建立方程组，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

…（2分）
解得d=2，q=2．　　…（4分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，…（6分）
所以bn=qn-1=2n-1．　　…（8分）
（Ⅱ）∵

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴Sn=1+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①
∴2Sn=2+3+

5

2

+…+

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

点评：本题考查数列的通项与求和，考查待定系数法，错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．