Question

（1）求值：（C₂⁰）²+（C₂¹）²+（C₂²）²，C₄²；（C₃⁰）²+（C₃¹）²+（C₃²）²+（C₃³）²，C₆³；
（2）由（1）中计算结果能得到（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²和C_2nⁿ相等吗，试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据题意，求出组合数的值，进而依次计算可得答案；
（2）由（1）可以推测：（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ，进而用数学模型进行证明：构造从2n个球中取出n个球的模型，有2种取法，①、直接取，由组合数公式可得其取法，②、将2n个球平均分成2组，每组n个，按取球的个数不同分情况讨论，由分类计数原理可得情况取法数目；令两种取法所得的组合数相等可得证明．

解答：解：（1）根据题意，（C₂⁰）²+（C₂¹）²+（C₂²）²=1+4+1=6，C₄²=6，
（C₃⁰）²+（C₃¹）²+（C₃²）²+（C₃³）²=1+9+9+1=20，C₆³=

6×5×4

3×2×1

=20，
（2）由（1）可以推测：（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ，
用数学模型法证明如下：从2n个球中取出n个，
第一种方法，直接取出，由组合数公式可得，有C_2nⁿ种取法，
另外还有一种取法：将2n个球平均分成2组，每组n个；
从两组中取出n个球，分n+1种情况讨论，1°全部从第2组取得，则从第1组取出0个，有C_nⁿC_n⁰=（C_n⁰）²种，
2°从第1组取1个，则从第2组取出n-1个，有C_n¹C_n^n-1=（C_n¹）²种，
3°从第1组取2个，则从第2组取出n-2个，有C_n²C_n^n-2=（C_n²）²种，
…
n+1°全部从第1组取得，则从第2组取出0个，有C_nⁿC_n⁰=（C_nⁿ）²种，
共有（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²种，
即可得（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ．

点评：本题考查组合数公式的性质与证明，解（2）的关键在于构造数学模型，用两种不同的取球方法得到不同的组合数式子．