Question

a、b是两条异面直线.求证:

(1)过a和b分别存在平面α和β,使α∥β;

(2)a、b间的距离等于平行平面α与β间的距离.

Answer 1

证明:(1)在直线a上取一点P,过P作b′∥b,

∵a、b是异面直线,

∴a、b′是相交直线.设它们确定平面α,在直线b上取一点Q,过Q作a′∥a,同样a′、b确定平面β,a′∥a,aα.∴a′∥α.同理,b∥α.

又∵a′、bβ,∴α∥β.

(2)设AB是a和b的公垂线,则AB⊥b,AB⊥a,

∴AB⊥a′,a′和b是β内的相交直线.

∴AB⊥β.同理,AB⊥α.因此,a、b间的距离等于α与β间的距离.