Question

【题目】已知圆O：x2+y2=4，点F（ ，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C
（1）求曲线C的方程；
（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得 为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，

则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′M，

故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．

点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为 +y2=1

（2）解：当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣ ），

A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，得 ．

则△＞0， ，

若存在定点N（m，0）满足条件，

则有 =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=x1x2+

=

= = ．

如果要上式为定值，则必须有 ，解得m= ，

此时 = ．

验证当直线l斜率不存在时，也符合．

故存在点N（ ，0）满足 为定值．

【解析】（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，通过|OQ|+|QG|=|OG|=2，推出|F′M|+|MF|=4．说明点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线C的方程；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣ ），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入 ，由 为定值求得m值，验证斜率不存在时适合得答案．