Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）的导函数f′(x)＜

1

2

，则f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集为（　　）

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|x＜-1}
• C、{x|x＜-1或x＞1}
• D、{x|x＞1}

Answer 1

分析：先把不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

移项并设φ（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，然后求出导函数φ′（x）又因为函数f′(x)＜

1

2

，所以φ′（x）＜0即φ（x）是减函数由f（1）=1求出φ（1）=0，根据函数是减函数得到f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集即可．

解答：解：?(x)=f(x)-

x

2

-

1

2

，则?/(x)=f/(x)-

1

2

＜0，
∴φ（x）在R上是减函数．
?(1)=f(1)-

1

2

-

1

2

=1-1=0，
∴?(x)=f(x)-

x

2

-

1

2

＜0的解集为{x|x＞1}．
故选D．

点评：此题考查了导数的运算，函数单调性的应用，以及利用导数研究函数的增减性．