Question

设数列{a_n}与数列{b_n}满足a₁=b₁=1，（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：（n≥2）；
（Ⅱ）设（n∈N^*），求实数λ的值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）n≥2时，
∵=++…+（n≥2且n∈N^*），
∴=++…++，
∴=+，
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2且n∈N^*），
所以=（n≥2且n∈N^*）． （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=，b₂=a₂，
∴（1+）（1+）…（1+）=•…=••…••b_n+1
=•••…••b_n+1
=2•
=2（++…++），
故=2，即 λ=2． （14分）
分析：（Ⅰ）由=++…+（n≥2且n∈N^*），向上类比一项，整理即可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）=知，（1+）（1+）…（1+）=2•，而=++…++，从而可求得=2，即λ可求．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查创新思维与抽象思维能力，考查化归思想与运算能力，属于难题．