Question

已知函数f（x）=2lnx-ax²，g(x)=x-

e

a

+

1

2

，a∈R，（e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的极值；
（2）定义：若?x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数y=f（x）的一个不动点．设h（x）=f（x）+g（x）．当a＞0时，讨论函数h（x）是否存在不动点，若存在求出a的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）对f（x）求导，讨论f′（x）的值是大于0、还是小于0，从而确定f（x）在定义域上的极值情况；
（2）假设存在不动点，则方程h（x）=x有解，讨论方程的解是否存在，以确定h（x）有无不动点．

解答：解：（1）∵f（x）=2lnx-ax²，∴f′（x）=

2

x

-2ax=

2-2ax2

x

（其中x＞0）；
①当a=0时，f′（x）=

2

x

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值；
②当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值；
③当a＞0时，令f′（x）=0，得x=

1 a

，列表如下：

∴当x=

1 a

时，f（x）有极大值是f（

1 a

）=-lna-1；
综上，当a≤0时无极值，当a＞0时，f（x）有极大值是f（

1 a

）=-lna-1；
（2）假设存在不动点，则方程h（x）=x有解，即2lnx-ax²-

e

a

+

1

2

=0有解；
设r（x）=2lnx-ax²-

e

a

+

1

2

，（其中a＞0），
由（1）知，r（x）_极大值=-lna-1-

e

a

+

1

2

=-lna-

e

a

-

1

2

，
下面判断r（x）_极大值是否大于0，设p（a）=-lna-

e

a

-

1

2

，（其中a＞0），
∴p′（a）=-

1

a

+

e

a2

=

e-a

a2

，列表如下：

当a=e时，p（a）_极大值=p（e）=-

5

2

＜0，
所以，p（a）=-lna-

e

a

-

1

2

＜0恒成立，即r（x）_极大值小于零，
所以h（x）无不动点．

点评：本题考查了利用导数来判定函数的单调性与极值问题，也考查了含参数的不等式的解法问题．