题目内容

已知双曲线 $数学公式$ （a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，△OAF的面积为 $数学公式$ （O为原点），则此双曲线的离心率是

A.
$数学公式$
B.
2
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：依题意，可求得过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线与bx-ay=0的交点A的坐标，利用，△OAF的面积为 $\text{[math]}$ 即可求得此双曲线的离心率
解答：设过F（c，0）与一条渐近线bx-ay=0垂直的直线为l，则l的方程为：y=- $\text{[math]}$ （x-c），
由 $\text{[math]}$ 得：x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，即A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵△OAF的面积为 $\text{[math]}$ a²，
∴ $\text{[math]}$ |OF|×y_A= $\text{[math]}$ c× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a²，
∴b= $\text{[math]}$ a，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，
∴e= $\text{[math]}$ =2．
故选B．
点评：本题考查双曲线的性质，求得A的坐标是关键，考查转化思想与方程思想，属于中档题．

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