Question

【题目】设函数

（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；

（Ⅱ）若函数存在唯一零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的极小值为2；（Ⅱ）当或时，函数有且只有一个零点.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极值（2）先化简，再利用参变分离法得，利用导数研究函数，由图像可得存在唯一零点时的取值范围

试题解析：（1）由题设，当时， ，

则，由，得．

∴当， ， 在上单调递减，

当， ， 在上单调递增，

∴当时， 取得极小值，

∴的极小值为2.

（2）由题设，

令，得．

设，则，

当时， ， 在上单调递增；

当时， ， 在上单调递减．

∴是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点．

∴的最大值为．

又，结合的图象（如图），可知

当时，函数有且只有一个零点；

当时，函数有且只有一个零点．

所以，当或时，函数有且只有一个零点.