Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+

1

a

)x2+x(a＞0)，则f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大时的切线方程为______．

Answer 1

∵f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+

1

a

)x2+x(a＞0)，
∴f'（x）=x²-（a+

1

a

）x+1，
∴当x=1时，f'（1）=1²-（a+

1

a

）+1=2-（a+

1

a

）≤2-2

a• 1 a

=0，
∴当a=1时，f'（1）取到最大值0，
∴f（x）=x³+3x²+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3，此时a=1，
即f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大为0，
∵切点坐标为（1，

1

3

）
∴切线方程为：y-

1

3

=0（x-1），即y=

1

3

．
故答案为：y=

1

3

．