Question

【题目】设函数．

（1）当时，函数与的图象有三个不同的交点，求实数的范围；

（2）讨论的单调性．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，函数在上单调递减，当时，函数在上递减，在上递增，在上递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

【解析】试题分析：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值与零点个数以及分类讨论思想的应用；(1)作差，分离参数构造函数，通过导数研究函数的极值，再通过函数的图象进行求解；(2)求导，确定导函数的两个零点，讨论两零点的大小进行求解.

试题解析：（1）当时， ，

故，令，

则，

故当时， ；当时， ；当时， ； ， ，故.

（2）因为，所以.

当时， 恒成立，故函数在上单调递减；

当时， 时， ， 时， ，当时， ，

故函数在上递减，在上递增，在上递减；当时， 时， ， 时， ，当时， ；

故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上递减，在上递增，在上递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.