题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，
是等边三角形，
，
，
为三棱锥外一点，且
为等边三角形．
证明：
；
若平面
平面
，平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
，求
的长．
【答案】
证明见解析；
.
【解析】
取
的中点
，连接
，
，证明
平面
，可得到结论；
以为原点，为
轴，
为
轴，为
轴建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论.
解：取的中点，连接，，
因为
是等边三角形，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以平面，
因为
平面，故
．
因为平面
平面
，
平面
平面
，
所以
平面，
且
，
，
故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
取
的中点
，连接
，
，
同理可证
平面
，
，
，
设
，
则
，
，
，
，
所以
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
，
，
令
，则
．
因为平面的一个法向量为
，
所以
，
所以
，
，
所以
或
．
因为
为三棱锥
外一点，
所以，
所以．
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【题目】某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种．为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在
的频率为0.66．
（1）求
，
的值；
（2）已知本次产蛋量近似服从
（其中
近似为样本平均数，
似为样本方差）．若本村约有10000只麻鸭，试估计产蛋量在110~120的麻鸭数量（以各组区间的中点值代表该组的取值）．
（3）若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种．根据统计得出两种培育方法的
列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关．
良种 | 次种 | 总计 | |
旱养培育 | 160 | 260 | |
水养培育 | 60 | ||
总计 | 340 | 500 |
附：
，则
，
，
．
，其中
．
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
