Question

已知f（x）=x³+ax²+bx在区间[-1，0]上是减函数，在区间（-∞，-1]与[0，+∞）上是增函数，则（　　）

• A．a=1，b=0
• B．a=-1，b=0
• C．a=

  3

  2

  ，b=0
• D．a=-

  3

  2

  ，b=0

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，根据f（x）=x³+ax²+bx在区间[-1，0]上是减函数，在区间（-∞，-1]与[0，+∞）上是增函数，得到导函数在区间（-1，0）上恒小于0，在区间（-∞，-1）与（0，+∞）上恒大于0，然后结合二次函数的图象和二次方程根的关系列式求出a与b的值．

解答：解：由f（x）=x³+ax²+bx，得：f^′（x）=3x²+2ax+b
因为f（x）=x³+ax²+bx在区间[-1，0]上是减函数，在区间（-∞，-1]与[0，+∞）上是增函数，
所以，f^′（x）=3x²+2ax+b在区间（-1，0）上恒小于0，在区间（-∞，-1）与（0，+∞）上恒大于0，
则方程3x²+2ax+b=0的两个实数根为-1、0
由根与系数关系有

- 2a 3 =-1+0 b 3 =-1×0

，所以，a=

3

2

，b=0．
故选C．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．考查了一元二次方程的根与系数关系，属基础题．