Question

设函数f（x）=2sin（2x+

π

4

）+1，
（I）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（II）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的最大值
（III）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据用五点法作y=Asin（ωx+∅）的图象的犯法作出函数函数f（x）=2sin（2x+

π

4

）+1在一个周期上的简图．
（Ⅱ）周期T=

2π

2

=π，当sin（2x+

π

4

）=1时，f（x）取得最大值是3．
（III）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）列表可得

2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
sin（2x+ π 4 ）	0	1	0	-1	0
y	1	3	1	-1	1

作图：--------（4分）
（Ⅱ）周期T=

2π

2

=π，当sin（2x+

π

4

）=1时，f（x）取得最大值是3．--------（8分）
（III）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函数f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈z）．…（12分）

点评：本题主要考查用五点法作y=Asin（ωx+∅）的图象，求三角函数的最值，正弦函数的单调区间，属于中档题．