Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，且过点（0，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A、B，若E(-

2

，0)，D(

2

，0)，求证：直线EA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）若直线l经过椭圆C的左焦点交椭圆C于P、Q两点，O为坐标原点，且

OP

•

OQ

=-

1

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程、离心率及参数a、b、c的关系即可得出；
（2）利用直线的点斜式、点在圆锥曲线上满足的条件及双曲线的意义即可证明；
（3）把直线的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系并利用已知条件即可得出．

解答：解：（1）依题意有：b=1，

c

a

=

2

2

，又a²=c²+1，
解得：a=2，c=1，
故椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y）．且有

t2

2

+y02=1，
又EA：y=

y0

t+ 2

(x+

2

)，DB：y=

-y0

t- 2

(x-

2

)，
∴y2=

-y02

t2-2

(x2-2)，由

t2

2

+y02=1得：y02=

1

2

(2-t2)
代入即得y2=

1

2

(x2-2)，即为：

x2

2

-y2=1，
所以直线EA与直线BD的交点K必在双曲线

x2

2

-y2=1上．
（3）（A）当直线l的斜率不存在时，P(-1，

1

2

)，Q(-1，-

1

2

)，此时

OP

•

OQ

=1-

1

2

=

1

2

，不满足要求；
（B）当直线l的斜率存在时设为k，则直线l为：y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由

OP

•

OQ

=-

1

3

得：x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=-

1

3

，
即：(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=-

1

3

；
则：(1+k2)

2k2-2

1+2k2

+k2

-4k2

1+2k2

+k2=-

1

3

；
解得：k²=1⇒k=±1；
直线l过椭圆C的左焦点，故恒有两个交点，则k=±1满足要求，
故直线l的方程为：y=x+1或y=-x-1．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义及性质、直线的点斜式、点在圆锥曲线上满足的条件、直线与椭圆相交问题的解法、根与系数的关系是解题的关键．