题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 $数学公式$ 上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）= $\text{[math]}$ ，
f（2）=3；f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），
即y=6x-9；
（Ⅱ）解：f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．
令f′（x）=0，解得x=0或x= $\text{[math]}$ ．
以下分两种情况讨论：
（1）若0＜a≤2，则 $\text{[math]}$ ；
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

当 $\text{[math]}$ 时，f（x）＞0，等价于 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ．
解不等式组得-5＜a＜5．因此0＜a≤2；
（2）若a＞2，则 $\text{[math]}$
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

当 $\text{[math]}$ 时，f（x）＞0等价于 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
解不等式组得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．因此2＜a＜5．
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．
分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；
（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（- $\text{[math]}$ ）和f（ $\text{[math]}$ ）及f（- $\text{[math]}$ ）和f（ $\text{[math]}$ ）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．
点评：本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．