Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）证明：e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)+n(n∈N*，e为常数)．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=e^x-ln（x+1），知f′（x）=e^x-

1

x+1

，由此能求出曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程．
（2）先求导数f′（x）然后在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的区间为单调增区间，f′（x）＜0的区间为单调减区间．
（3）由（2）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，即e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，取x=

1

n

，则e

1

n

≥ln（

1

n

+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，再分别令n=1，2，3，…，n得到n个不等式，相加即得．

解答：解：（1）∵函数f（x）=e^x-ln（x+1），
∴f′（x）=e^x-

1

x+1

，
∴k=f′（0）=e⁰-

1

0+1

=0，
f（0）=e⁰-ln1=1，
∴曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=0．
（2）∵f′（x）=e^x-

1

x+1

，x＞-1．
∴由f′（x）=e^x-

1

x+1

=0，得x=0．
当x＞0时，e＞1，

1

x+1

＜1，所以当x＞0时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，ex＜1，

1

x+1

＞1，所以当x＜0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）．
（3）∵函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞），
∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1，
∴e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1，
取x=

1

n

，则e

1

n

 ≥ln（

1

n

+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，
于是e≥ln2-ln1+1，
e

1

2

≥ln3-ln2+1，
e

1

3

≥ln4-ln3+1，
…
e

1

n

≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e为常数）．
故e+e

1

2

+e

1

3

+…+e

1

n

≥ln(n+1)+n(n∈N*，e为常数)．

点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．