Question

在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ=

π

4

(ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（I）根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程
（II）写出直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，则有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，由|BC|²=|AB|，|AC|，代入可求a的值

解答：解：（Ⅰ）根据极坐标的转化可得，曲线l的方程为：ρ

y2

ρ2

=2a

x

ρ

即 y²=2ax，A（-2，-4）
直线L的方程为y+4=x+2即y=x-2（3分）
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），
代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，则有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)
因为|BC|²=|AB|，|AC|，所以（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=t₁•t₂
解得 a=1（7分）

点评：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线与曲线的位置关系的应用，解题的关键是要熟练应用极坐标与直角坐标的互化．