Question

【题目】如图，四棱锥，底面为矩形，平面，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）设二面角为60°，，，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接辅助线构造三角形，利用三角形中位线定理证明线线平行，再通过线线平行证明线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，通过二面角为60°，利用平面法向量求出点的坐标，再利用法向量求直线与平面所成角的正弦值.

（1）如图，

连接，且，则在矩形中为中点，

且在中，为的中点，

∴

且平面，平面，

∴平面；

（2）如图以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，

，，

设，， ，，

∴，，

设平面、平面和平面的法向量分别为，，

则有，

∴，

令，则有，

同理可得，，

∵二面角为60°

∴，

∴，

解得，

∴，，

设与所成角为，

∴，

即直线与平面所成角的正弦值为.