Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
（I）求证：1＜a_n＜2（n∈N^*，n≥2），
（Ⅱ）令b_n=|a_n-|
（1）求证：{b_n}是递减数列；
（2）设{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（I）先由递推式求出a₂，然后用数学归纳法证明；
（Ⅱ）（1）通过作商证明＜1；（2）由（1）可得，即，利用迭代法可得＜…＜=（-1），
利用该结论及等比数列前n项和公式可证明结论；
解答：解：（Ⅰ）a₁=1，=，
（1）n=2时，1＜a₂=＜2，∴n=2时不等式成立；
（2）假设n=k（k∈N^*，k≥2）时不等式成立，即1＜a_k＜2，
，
∴，
∴n=k+1时不等式成立，
由（1）（2）可知对n∈N^*，n≥2都有1＜a_n＜2；
（Ⅱ）（1）=
=•
=•=，
又＜＜1，
∴{b_n}是递减数列；
（2）由（1）知：，∴，
则＜…＜=（-1），
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜（-1）
=
=＜．
点评：本题考查数列递推式、数列的函数特性、等比数列前n和公式、数学归纳法等知识，考查学生的推理证明能力．