Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²+2x-2
（1）求f（-1）的值；
（2）求当x＜0时的函数f（x）的解析式
（3）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由已知表达式可求得f（1），利用奇函数的性质可得f（-1）=-f（1）；
（2）设x＜0，则-x＞0，由已知表达式可求得f（-x），根据奇函数的性质可得f（-x）与f（x）的关系，从而可得f（x）；
（3）由（2）的结论，只需再求得f（0）即可；

解答：解：（1）∵当x＞0时，f（x）=x²+2x-2，
∴f（1）=1²+2×1-2=1，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=-1；
（2）设x＜0，则-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-x²+2x+2，
∴x＜0时，f（x）=-x²+2x+2；
（3）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），解得f（0）=0，
∴函数的解析式为f（x）=

x2+2x-2，x∈(0，+∞) 0，x=0 -x2+2x+2，x∈(-∞，0)

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点评：本题考查函数解析式的求法、函数的奇偶性及其应用，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力．