题目内容

已知函数f（x）=lg（ $数学公式$ +a）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求满足不等式f（2x+1）＜f（-x）的x的取值范围；
（3）设g（x）=lg（x+m）（m∈R），若f（x）的图象恒在g（x）的图象上方，求实数m的取值范围．

解：（1）∵f（x）=lg（ $\text{[math]}$ +a）是R上的奇函数，∴f（0）=0，即lg（ $\text{[math]}$ +a）=0，∴2+a=1，∴a=-1；
（2）∵当a=-1时，f（x）=lg（ $\text{[math]}$ -1）=lg（ $\text{[math]}$ ），又f（2x+1）＜f（-x），∴lg $\text{[math]}$ ＜lg $\text{[math]}$ ，
∴0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得-1＜x＜- $\text{[math]}$ ；满足不等式f（2x+1）＜f（-x）的x取值范围是：（-1，- $\text{[math]}$ ）；
（3）∵g（x）=lg（x+m）（m∈R），f（x）的图象恒在g（x）的图象上方，∴f（x）＞g（x），即lg（ $\text{[math]}$ ）＞lg（x+m），
∴ $\text{[math]}$ ＞x+m＞0，
∴m＜ $\text{[math]}$ -x，设t= $\text{[math]}$ -x，整理，得x²+tx+（1-t）=0，由t²-4（1-t）≥0，得t≥-2+2 $\text{[math]}$ ，或t≤-2-2 $\text{[math]}$ ；
∴m＜-2+2 $\text{[math]}$ ；
所以，实数m的取值范围是：（-∞，-2+2 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）f（x）是R上的奇函数知，f（0）=0，得a的值；
（2）由f（x）的解析式，代入f（2x+1）＜f（-x）中，求出的x取值范围；
（3）由f（x）恒在g（x）的图象上方，得f（x）＞g（x），即得出m的解析式，从而求出m的范围．
点评：本题考查了函数奇偶性的应用以及对数函数的运算，不等式的解法、最值问题，是综合性比较强的题目．

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