Question

19、如图，在直角梯形ABEF中，将四边形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一个空间几何体．
（1）求证：BE∥平面ADF；
（2）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值的大小．

Answer 1

分析：（1）根据折叠之后BC∥AD，CE∥DF的关系不变，根据线面平行的判定定理可得：BC∥平面ADF；CE∥平面ADF，再根据面面平行的判定两点可得面面平行，进而得到线面平行．
（2）由∠FDA=60°，并且DF=2，AD=1，可得：AF⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD．取AF的中点G，连接GB，可得GB∥EF，并且直线EF与平面ABCD所成角与直线GB与平面ABCD所成角相等．由GA⊥平面ABCD，可得∠GBA为所求角．再利用解三角形的有关知识求出答案即可．

解答：解：（1）证明：由已知条件可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变，
因为BC?平面ADF，AD?平面ADF，
所以BC∥平面ADF；同理CE∥平面ADF．
又∵BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF．
∴BE∥平面ADF．
（2）因为∠FDA=60°，并且DF=2，AD=1，
所以AF⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD．
取AF的中点G，连接GB，
因为DF=2，BE=1，
所以GB∥EF，所以直线EF与平面ABCD所成角与直线GB与平面ABCD所成角相等．
因为GA⊥平面ABCD，所以∠GBA为所求角．
在△GAB中，AB=1，AG=1，∠GAB=90°，
所以∠GBA=45°，即直线EF与平面ABCD所成角的正切值的大小为1．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，线面角的求解，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．