题目内容

已知函数 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，又知函数
f（x）的周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若将f（x）的图象向右平移 $数学公式$ 个单位得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0…（1分）
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =cosφ-sinφ= $\text{[math]}$ …（3分）
∴φ+ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
又∵|φ|＜ $\text{[math]}$ ，
∴φ= $\text{[math]}$ ．…（5分）
∵函数f（x）的周期T=π，即 $\text{[math]}$ =π，ω=2．
∴解析式为 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）由题意知，函数f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到g（x）的图象
∴ $\text{[math]}$ …（8分）
∴g（x）的单调递增区间为2kπ- $\text{[math]}$
解得kπ- $\text{[math]}$ ，…（10分）
∴g（x）的单调递增区间为 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）根据所给的两个向量垂直，得出它们的数量积为0，求出φ值，再根据周期公式求出ω，最后写出函数的解析式．
（2）根据函数的图象的平移的原则，写出新的函数的解析式，根据正弦曲线的单调区间写出函数的单调递增区间．
点评：本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系、正弦函数的单调性和函数的图象的平移，本题解题的关键是正确写出函数的解析式，这是后面解题的依据，本题是一个中档题目．

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