Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．又f（1）=-2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值；
（3）解关于x的不等式f（ax²）-2f（x）＜f（ax）+4．

Answer 1

分析：（1）先求f（0）=0，再取y=-x，则f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，故可得函数为奇函数；
（2）先判断函数在（-∞，+∞）上是减函数，再求f（-3）=-f（3）=6，从而可求函数的最大值；
（3）利用函数为奇函数，可整理得f（ax²-2x）＜f（ax-2），利用f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，可得ax²-2x＞ax-2，故问题转化为解不等式．

解答：解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0…1′
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数．…3′
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，…4′
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）为奇函数∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（x）≤f（-3）…6′
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-2×3=-6，
∴f（-3）=-f（3）=6，∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6…8′
（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2），
进一步得f（ax²-2x）＜f（ax-2），
而f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
∴ax²-2x＞ax-2…10′∴（ax-2）（x-1）＞0．
∴当a=0时，x∈（-∞，1）
当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}
当a＜0时，x∈{x|

2

a

＜x＜1}
当0＜a＜2时，x∈{x|x＞

2

a

或x＜1}
当a＞2时，x∈{x|x＜

2

a

或x＞1}…12′

点评：本题考查抽象函数的性质，赋值法事常用方法，同时借助于函数的单调性，抽象函数的不等式问题可以转化为具体函数求解．