题目内容
已知过点A（0，1）且方向向量为
=(1，k)的直线l与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且
•
=12，求k的值．
| a |
（1）求实数k的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且
| OM |
| ON |
分析：（1）由已知可设直线l的方程为y=kx+1，联立直线方程和圆的方程，根据直线与圆有两个交点，故方程有两个不等的交点，即△＞0，进而可得实数k的取值范围；
（2）设出M，N的坐标，由（1）中方程及韦达定理，结合
•
=x1•x2+y1•y2，可构造关于k的方程，解方程可得答案．
（2）设出M，N的坐标，由（1）中方程及韦达定理，结合
| OM |
| ON |
解答：解：（1）直线l过点A（0，1）且方向向量为
=(1，k)
∴直线l的方程为y=kx+1
将其代入圆C：（x-2）2+（y-3）2=1得：
（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0…①
若直线l与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两点
则△=16（1+k）2-28（1+k2）＞0
解得
＜k＜
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由①得
•
=x1•x2+y1•y2=（1+k2）x1•x2+k（x1+x2）+1=
+8=12
∴k=1
| a |
∴直线l的方程为y=kx+1
将其代入圆C：（x-2）2+（y-3）2=1得：
（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0…①
若直线l与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两点
则△=16（1+k）2-28（1+k2）＞0
解得
4-
| ||
| 3 |
4+
| ||
| 3 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由①得
|
| OM |
| ON |
| 4k(1+k) |
| 1+k2 |
∴k=1
点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系，（1）的关键是由直线与圆交点的个数判断联立所得方程有两个不等根，（2）的关键是根据向量数量积构造关于k的方程．
练习册系列答案
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如图，已知过点A（0，1）的直线l与抛物线C：y=x2交于M，N两点，又抛物线C在M，N两点处的两切线交于点B，M，N两点的横坐标分别为x1，x2．