Question

某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3（百万元）时，每投入x（百万元）广告费，增加的销售额可近似的用函数y₁=-2x²+14x（百万元）来计算；每投入x（百万元）技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y₂=-x³+2x²+5x（百万元）来计算．现该公司准备共投入3（百万元），分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司的销售额最大． （参考数据：≈1.41，≈1.73）

Answer 1

解：设3百万元中技术改造投入为x（百万元），广告费投入为3-x（百万元），则广告收入带来的销售额增加值为-2（3-x）²+14（3-x）（百万元），技术改造投入带来的销售额增加值为-x³+2x²+5x（百万元），
所以，投入带来的销售额增加值F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-x³+2x²+5x．
整理上式得F（x）=-x³+3x+24，
因为F′（x）=-x²+3，令F′（x）=0，解得x=或x=-（舍去），
当x∈[0，），F′（x）＞0，当x∈（，3]时，F′（x）＜0，
所以，x=≈1.73时，F（x）取得最大值．
所以，当该公司用于广告投入1.27（百万元），用于技术改造投入1.73（百万元）时，公司将有最大的销售额．
分析：先计算投入带来的销售额增加值，再利用导数法，即可确定函数的最值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．