Question

已知圆O：x²+y²=1，点P在直线l：2x+y-3=0上，过点P作圆O的两条切线，A，B为两切点．
（1）求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标；
（2）点M为直线y=x与直线l的交点，若在平面内存在定点N（不同于点M），满足：对于圆 O上任意一点Q，都有

QN

QM

为一常数，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）求

PA

•

PB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半径R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，而|PO|最短时，OP垂直于直线2x+y-3=0，由此可得结论；
（2）由直线y=x与直线l：2x+y-3=0联立，可得交点坐标M（1，1），设Q（m，n），N（x，y），利用

QN

QM

为一常数，建立等式，根据Q的任意性，即可求得结论；
（3）由题意，四点P，A，O，B共圆，当且仅当圆与直线相切时，|PA|最小，∠APB最大，

PA

•

PB

取得最小值．

解答：解：（1）由勾股定理得：|PO|²=R²+|PA|²，半径R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，
而|PO|最短时，OP垂直于直线2x+y-3=0，所以最短|OP|=

|0+0-3|

4+1

=

3

5

，
所以|PA|²=|PO|²-R²=

4

5

即|PA|最小时，|PA|=

2 5

5

直线2x+y-3=0的斜率是k=-2，则PO的斜率是k'=

1

2

，所以OP方程是y=

x

2

将方程y=

x

2

与直线2x+y-3=0联立，解得：x=

6

5

，故有y=

3

5

，即点P坐标是（

6

5

，

3

5

）；
（2）由直线y=x与直线l：2x+y-3=0联立，可得交点坐标M（1，1），设Q（m，n），N（x，y）
则

QN

QM

=

(x-m)2+(y-n)2

(m-1)2+(n-1)2

=λ（λ≠1）
∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x²+y²-3λ+1=0
∵对于圆 O上任意一点Q，都有

QN

QM

为一常数，
∴

2λ-2x=0 2λ-2y=0 x2+y2-3λ+1=0

，解得x=y=λ=

1

2

，
∴N（

1

2

，

1

2

）
（3）由题意，四点P，A，O，B共圆，当且仅当圆与直线相切时，|PA|最小，∠APB最大，

PA

•

PB

取得最小值
由（1）知P坐标是（

6

5

，

3

5

）；
设A（a，b），则过A的切线方程为：ax+by=1，将（

6

5

，

3

5

）代入可得

6

5

a+

3

5

b=1，
∵a²+b²=1
∴a=

10+2 5

15

，b=

5-4 5

15

，或a=

10-2 5

15

，b=

5+4 5

15

∴

PA

•

PB

=（

10+2 5

-

6

5

，

5-4 5

15

-

3

5

）•（

10-2 5

15

-

6

5

，

5+4 5

15

-

3

5

）=-

4

45

点评：本题考查圆的切线，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．