Question

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1 处取得极值．
（1）当f（x）在（0，

1

2

）上递增，在（

1

2

，

2

3

）上递减时，求a，b的值
（2）若f（x）在（0，e]（其中e为自然对数的底数）上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出函数导函数，根据x=1，x=

1

2

是f（x）的一个极值点f′（1）=0，f′（

1

2

）=0可构造关于a，b的方程，从而可求出a，b的值；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx+ax²+bx，
∴f′(x)=

1

x

+2ax+b，
∵函数f（x）=lnx+ax²+bx在x=1，x=

1

2

处取得极值f'（1）=1+2a+b=0，f/(

1

2

)=2+a+b=0，
∴a=1，b=-3，
（2）因为f′(x)=

2ax2-2(a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
令f'（x）=0，x1=1，x2=

1

2a

，
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x2=

1

2a

≠x1=1，

1

2a

＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，
解得a=-2，
a＞0，x2=

1

2a

＞0，
当

1

2a

＜1时，f（x）在(0，

1

2a

)上单调递增，(

1

2a

，1)上单调递减，（1，e）上单调递增，
所以最大值1可能在x=

1

2a

或x=e处取得，
而f(

1

2a

)=ln

1

2a

+a(

1

2a

)2-(2a+1)

1

2a

=ln

1

2a

-

1

4a

-1＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

，
当1≤

1

2a

＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，(1，

1

2a

)上单调递减，(

1

2a

，e)上单调递增，
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得，
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

，与1＜x2=

1

2a

＜e矛盾，
当x2=

1

2a

≥e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，
所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾，
综上所述，a=

1

e-2

或a=-2．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．