Question

【题目】已知,数列的前项和为,且.

(1)求证:数列是等比数列,并求出通项公式;

(2)对于任意(其中,,均为正整数),若和的所有乘积的和记为,试求的值;

(3)设,,若数列的前项和为,是否存在这样的实数,使得对于所有的都有成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析,;(2)1;(3)存在,.

【解析】

（1）当时,通过与作差，进而计算可得结论（2）通过（1）可得Tn的表达式，进而计算即得结论（3）通过（1）可知数列{cn}的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

(1)∵,

∴当时,,

两式相减,整理得:,

又∵,即,

∴数列是首项为1公比为2的等比数列,

∴;

(2)∵

,

∴;

(3)结论:存在这样的实数,使得对于所有的都有成立.

理由如下:

由(1)可知,,即,,

故,,

特别地,当为偶数时,有为奇数,

此时,

①若为偶数,则

,

由可知对所有正偶数都成立,故;

②若为奇数,则,

由①可知,

由可知对所有正奇数都成立,故;

由①②可得实数的取值范围是:,

所以存在这样的实数,使得对于所有的都有成立.