Question

【题目】已知函数 ，且 .
（1）试求 的值；
（2）用定义证明函数 在 上单调递增；
（3）设关于 的方程 的两根为 ，试问是否存在实数 ，使得不等式 对任意的 及 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
设 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ 在 上单调递增
（3）解：∵
∴
∴
又∵
∴ ，故只需当 ，使得 恒成立，即 在 恒成立，也即 在 恒成立，
∴令 ，
由第（2）问可知 在 上单调递增，
同理可得 在 上单调递减.
∴
∴
故 的取值集合是 .
【解析】（1）将x=1代入解析式，即可解出a的值，（2）根据单调增函数的定义即可证明，（3）方程f（x）=x+b，得出x2-bx+1=0，由，得出，故只须当，使得恒成立，即在恒成立，令，由（2）问知，f（m）单调性，不难求出f（m）的最小值.