Question

过点P（2，2）作圆x²+y²=2的两条切线，切点分别为A、B，则|AB|=

6

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，由圆的方程找出圆心坐标和半径r，确定出|OA|与|OB|的长，由切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，且切线长相等，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出|AP|的长，同时得到∠APO=30°，确定出三角形APB为等边三角形，由等边三角形的边长相等得到|AB|=|OP|，可得出|AB|的长．

解答：解：由圆的方程x²+y²=2，得到圆心O（0，0），半径r=

2

，
∴|OA|=|OB|=

2

，
∵PA、PB分别为圆的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，|PA|=|PB|，OP为∠APB的平分线，
∵P（2，2），O（0，0），
∴|OP|=

22+22

=2

2

，
在Rt△AOP中，根据勾股定理得：|AP|=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

，
∵|OA|=

1

2

|OP|，∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△PAB为等边三角形，
则|AB|=|AP|=

6

．
故答案为：

6

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系确定，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径）．