Question

[1]已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．
（1）求矩阵A，并写出A的逆矩阵；
（2）若向量，试计算M⁵⁰β．
[2]已知是定义在区间[-1，1]上的函数，设x₁，x₂∈[-1，1]且x₁≠x₂．
（1）求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）若a²+b²=1，求证：．

Answer 1

【答案】分析：[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=可得，c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₂=，
可得3c-2d=-2，由此能求出矩阵A和A的逆矩阵．
（2）令β=mα₁+nα₂可解得m=5，n=-1，即β=5α₁-α₂．由此能求出M⁵⁰β．
[2]（1），由此可证明|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）由此能够推导出．
解答：解：[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=可得，
=6，即c+d=6；（1分）
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₂=，
可得=，即3c-2d=-2，（2分）
解得即A=，（3分）
A逆矩阵是．（5分）
（2）令β=mα₁+nα₂可解得m=5，n=-1，即β=5α₁-α₂．（7分）
所以M⁵⁰β=M⁵⁰（5α₁-α₂）
=5（M⁵⁰α₁）-（M⁵⁰α₂）
=5（λ₁⁵⁰α₁）-（λ₂⁵⁰α₂）
=．（10分）
（选修4-5：不等式选讲）
证：[2]（1）
∵|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|，，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．（5分）
（2），
∵a²+b²=1，
∴．（10分）
点评：本题考查二阶行列式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用．