Question

在很大的一湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其中方向与河岸成15°,速度为v=2.5 km/h.同时岸上有一人，从同一地点追赶小船，已知他在岸上跑的速度为v₁=4 km/h，在水中游的速度为v₂=2 km/h，问此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少？

Answer 1

解：用向量合成法来求解这个问题.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上，所以本题讨论的问题不是同一直线上的追及问题，只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.

设人在岸上跑时间t₁到达A点，然后人在水中沿AE方向游水追船，如图1所示，以船在B点为参照物，则人在水中对船的速度v₃应为v₃=v₂-v,要追上船，不管v₂方向如何，

相对速度v₃方向不变，只要在α＞θ,人就能追上船，

由v₂,-v,v₃组成的向量三角形，其中v₃,v的方向不变（图2中∠ADE恒定），而v₂大小是恒定的，要DE边最长（即v的大小最大），AE必与AD相互垂直.

AF∥DE∥OB,CE∥AB,

∵△AFC∽△OBA,

∴,

又∵=v,∴=v₁.

在Rt△AEC中有sin∠ACE=sinβ==,所以β=30°,∠EAC=α=60°,∠AED=45°,即△AED为等腰直角三角形.

因此，v_max=v₂=km/h.

由此可知，当船速为2.5 km/h时人可追上船，人能追上船的最大速度是km/h.

思想方法小结：用向量知识解决物理问题，首先要做出示意图来分析，解题中要注意三角知识的应用.