题目内容
已知数列{an}和{bn}满足：a1=
,an+1=
an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数，n为正整数.
（1）证明：对任意实数,数列{an}不是等比数列；
（2）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列；
（3）设Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数,使得对任意正整数n，都有Sn＞-12?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在实数,使得对任意正整数n都有Sn＞-12,的取值范围为（-∞，-6）
解析:
（1）证明 假设存在一个实数
,使{an}是等比数列，则有a
=a1a3,即
=
?
2-4+9=2-49=0,矛盾.
所以{an}不是等比数列.
（2）证明 因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］
=(-1)n+1
=-
(-1)n·(an-3n+21)=- bn.
又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.
由上式知bn≠0,所以
=-(n∈N*).
故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，-为公比的等比数列.
（3）解 当≠-18时，由（2）得：
bn=-(+18)·
,
于是Sn=-
(+18)·
.
当=-18时，bn=0，从而Sn=0，上式成立.
要使对任意正整数n，都有Sn＞12.
即-(+18 )·＞-12
?＜
-18.
令f(n)=1-
,则
当n为正奇数时，1＜f(n)≤
;
当n为正偶数时，
≤f(n)＜1,
所以f(n)的最大值为f(1)= .
于是可得＜20
-18=-6.
综上所述，存在实数,使得对任意正整数n都有Sn＞-12,的取值范围为（-∞，-6）.
练习册系列答案
相关题目