Question

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=

3

，SB=2

3

．
（1）求三棱锥S-ABC的体积；
（2）证明：BC⊥SC；
（3）求异面直线SB和AC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，∴SA⊥面BAC，即SA即是棱锥的高，
又AC=1，BC=

3

，SB=2

3

，=∠ACB=90°
∴AB=2，SA=2

2

∴三角形BAC的面积为

1

2

×1 ×

3

=

3

2

，三棱锥S-ABC的体积为

1

3

×2

2

×

3

2

=

6

3

（2）由（1）知SA⊥面BAC可得SA⊥BC
又=∠ACB=90°，可得BC⊥AC，又SA∩AC=A
∴BC⊥面SCA
∴BC⊥SC
（3）分别取AB、SA、BC的中点D、E、F，连接ED、DF、EF、AF，由于ED∥SB，DF∥AC，故∠EDF（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角
由上证知DE=

1

2

SB=

3

，DF=

1

2

AC=

1

2

，AE=

2

，在直角三角形ACF中可求得AF=

7

2

在直角三角形EAF中可求得EF=

11

2

在三角形DEF中由余弦定理得∠EDF余弦的绝对值为

1 4 +3- 11 4

2× 1 2 × 3

=

3

6