Question

小河同侧有两个村A、B，两村计划在河上共建一水电站发电供两村使用，已知A、B两村到河边垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问水电站建于何处，送电到两村电线用料最省？

Answer 1

解析：小河看成一条直线l，A、B两村在小河同侧，且|AO|=300 m，|BB′|=700 m，|AB|=500 m.根据题意，应在l上选一点P，使|PA|+|PB|最小，根据平面几何知识，在A、B的另一岸取点A的对称点A′,连结A′B，则A′B与小河交点P即为所求(通过两边之和大于第三边可证).因此，问题转化为，在已知条件下计算|PA|+|PB|的最小值问题.以小河l所在直线为x轴，y轴通过A点，建立直角坐标系，如下图所示作A关于x轴的对称点A′，连结A′B，A′B与x轴交于P点，则P点即为所求，即|PA|+|PB|为最小(若在l上任取一点P′PA，则|P′B|+|A′B|.

∵|A′P|=|AP|,∴|P′A|+|P′B|＞|AP|+|PB|.

∴根据已知条件，A(0，300)，A′(0，-300).

过B作BB′⊥x轴于点B′，

过A作AH⊥BB′于H.

∵|AO|=300，|BB′|=700，∴|BH|=400.

又|AB|=500，

∴|AH|=300求得B点坐标B(300，700)，

∴直线A′B的方程为,即y= x-300.

∴P点坐标即为直线A′B与x轴交点的坐标(90，0).即|OP|=90 m.

即水电站应建立在河边距A到小河最近点的90 m处用料最省.

物指数般的繁殖和生长.