Question

已知曲线y=x³+x-2在点P₀处的切线l₁平行直线4x-y-1=0，且点P₀在第三象限，
（1）求P₀的坐标；
（2）若直线l⊥l₁，且l也过切点P₀，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x-y-1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P₀的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；
（2）由直线l₁的斜率为4，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到直线l的斜率为-

1

4

，又根据（1）中求得的切点坐标，写出直线l的方程即可．

解答：解：（1）由y=x³+x-2，得y′=3x²+1，
由已知得3x²+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P₀在第三象限，
∴切点P₀的坐标为（-1，-4）；
（2）∵直线 l⊥l₁，l₁的斜率为4，
∴直线l的斜率为-

1

4

，
∵l过切点P₀，点P₀的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4=-

1

4

（x+1）即x+4y+17=0．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．