Question

设定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b为实数）．
（1）若f（x）是奇函数，求a，b的值；
（2）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x，c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，得到f（0）=0，从而建立方程可解a，b．
（2）利用函数的奇偶性和指数函数的单调性，求出f（x）的最大值，和函数y=c²-3c+3最小值之间的关系，进行证明即可．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
即

-1+a

2+b

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+b

，
∵f（1）=-f（-1），
∴

1-2

4+b

=-

1- 1 2

1+b

，
∴b=2．
（2）f（x）=

1-2x

2x+1+2

=

1

2

•

1-2x

1+2x

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
从而-

1

2

＜f（x）＜

1

2

；
而c²-3c+3=（c-

3

2

）²+

3

4

≥

3

4

对任何实数c成立，
∴对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数性质的综合应用，考查学生的运算和推理能力．