Question

（本小题满分12分）

    如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90^o，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.

   （1）求证：PA⊥BD；

   （2）求二面角P—DC—B的大小．

Answer 1

本小题考查空间里的线线、线面垂直关系，二面角的求法以及空间想象能力.

解法一：（1）证明：∵PB=PC，O为BC的中点，

∴PO⊥BC.

又∵平面PBC⊥平面ABCD，

平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴PO⊥平面ABCD.在梯形ABCD中，

可得Rt△ABO≌Rt△BCD.

∴∠BEO＝∠OAB+∠DBA＝∠DBC+∠DBA＝90^o，

即AO⊥BD.

∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD…………………………6分

（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，

∴DC⊥平面PBC.

∵PC平面PBC，∴DC⊥PC.

∴∠PCB为二面角P—DC—B的平面角.

∵△PCB是等边三角形，

∴∠PCB＝60^o，即面角P—DC—B的大小为60^o……………………12分

   解法二：（1）因为△PBC是等边三角形，O是BC的中点，

由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD.

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，

过点与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的

空间直角坐标系O—xyz.

（1）证明：在直角梯形中，AB=BC=2. 

CD=1，在等边三角形中PBC中，PO=.

∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，）.

∴=（-2，-1，0），=（1，-2，-）.

∵·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0，

∴⊥，即PA⊥BD………………………………………………6分

（2）解：取PC的中点N，则N(-，0，).于是=(-，0，).

∵C（-1，0，0），∴=（0，1，0），=（1，0，），

∴·=(-)×1+0×0+×=0

∴⊥平面PDC.显然=（0，0，），且⊥平面ABCD.

∴，所夹角等于所求二面角的平面角.

∵·=(-)×0+0×0+×=，

||=，||=，∴cos<，>=.

∴二面角P—DC—B的大小为60^o…………………………………………12分