Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，点在上，平面，在的延长线上，且.

(1)证明:平面.

(2)过点作的平行线，与直线相交于点，当点在线段上运动时，二面角能否等于?请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)不能，理由见解析

【解析】

（1）通过证明四边形是平行四边形，得到即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角.

解：(1)证明:记的中点为，连接，过作交于，连接，

则，且.

因为平面，所以.

在中，，，易求，.

又，则.

因为，所以.

因为，且，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)解:因为平面，所以，而是正方形，所以.

因为与显然是相交直线，所以平面，

所以平面平面.

记的中点为，则平面，且.

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，设，，

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，

令，得.

易知平面的一个法向量为，

设二面角的大小是，则.

因为，所以，则，

所以，

因为，所以，即二面角不可能为.