题目内容
矩形ABCD与矩形ABEF有公共边AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，如图，又FD=2，AD=1，EF=| 3 |
（1）证明AE⊥平面FCB．
（2）求异面直线BD与AE所成角的余弦值．
（3）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？证明你的结论．
分析：（1）根据两个平面垂直的性质定理证明BC⊥平面ABEF，可得 BC⊥AE，再证明矩形ABEF为正方形，可得 AE⊥BF，由直线和平面平行的判定定理证得AE⊥平面FCB．
（2）由于
=
+
+
，平方利用两个向量的数量积的定义可得cos＜
，
＞=-
，从而得到异面直线BD与AE所成角的余弦值
．
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，可证平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，由此得出结论．
（2）由于
| DA |
| DB |
| BE |
| EA |
| DB |
| EA |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，可证平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，由此得出结论．
解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD与矩形ABEF有公共边AB，平面ABCD⊥平面ABEF，可得BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AE．
又FD=2，AD=1，EF=
，∴AF=
=
=EF，∴矩形ABEF为正方形，∴AE⊥BF．
而BC、BF是平面FCB内的两条相交直线，∴AE⊥平面FCB．
（2）∵
=
+
+
，平方可得 1=4+3+6+2
•
+2
•
+2
•
，
即 1=13+0+2×2
cos＜
，
＞+2×
×
cos135°，
故 有 cos＜
，
＞=-
=-
，∴异面直线BD与AE所成角的余弦值
．
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，得MP∥BC，且MQ∥BF，故平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，
故在线段FD上存在中点N，使得MN∥平面FCB成立．
又FD=2，AD=1，EF=
| 3 |
| FD2-AD2 |
| 3 |
而BC、BF是平面FCB内的两条相交直线，∴AE⊥平面FCB．
（2）∵
| DA |
| DB |
| BE |
| EA |
| DB |
| BE |
| DB |
| EA |
| BE |
| EA |
即 1=13+0+2×2
| 6 |
| DB |
| EA |
| 3 |
| 6 |
故 有 cos＜
| DB |
| EA |
3
| ||
| 12 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，得MP∥BC，且MQ∥BF，故平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，
故在线段FD上存在中点N，使得MN∥平面FCB成立．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，证明线面垂直的方法，异面直线所成的角的定义和求法，直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．
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为定值．