题目内容
“雪花曲线”因其形状类似雪花而得名，它可以以下列方式产生，如图，有一列曲线P1，P2，P3…，，已知P1是边长为1的等边三角形，Pn+1是对Pn进行如下操作得到：将Pn的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（n=1，2，3…）．（1）记曲线P1n的边长和边数分别为an和bn（n=，1，2，…），求an和bn的表达式；
（2）记Sn为曲线Pn所围成图形的面积，写出Sn与Sn-1的递推关系式，并求Sn．
分析：（1）结合图形计算得到a1=3，a2=
，a3=
，…b1=3，b2=12，b3=48…观察归纳得到an=（
）n-1，bn=34n-1．
（2）pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，即sn=sn-1+bn-1×
an2，将bn-1，an的表达式代入，利用累加法及等比数列的前n项和公式求出Sn．
| 1 |
| 3 |
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| 1 |
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（2）pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，即sn=sn-1+bn-1×
| ||
| 4 |
解答：
解（1）：根据题意得到a1=3，a2=
，a3=
，…
b1=3，b2=12，b3=48…
所以an=（
）n-1，bn=34n-1
（2）因为p2是在p1的每条边上再生出一个小正三角形，于是
s2=s1+3×
a22，
同理，对pn是在pn-1的每条边上再生出一个小正三角形，
于是pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，
即sn=sn-1+bn-1×
an2，
将bn-1，an的表达式代入得到：Sn=Sn-1+
（
）n-1S1
于是可以利用累加的方法得到
Sn=Sn-1+
（
）n-1S1
Sn-1=Sn-2+
（
）n-2S1
…
S2=S1+
•
S1
将上面式子累加得
Sn=S1+
[
+(
)2+…+(
)N-1]S1
=[
-
(
)n-1]s1
=
[
-
(
)n-1]
解（1）：根据题意得到a1=3，a2=
| 1 |
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b1=3，b2=12，b3=48…
所以an=（
| 1 |
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（2）因为p2是在p1的每条边上再生出一个小正三角形，于是
s2=s1+3×
| ||
| 4 |
同理，对pn是在pn-1的每条边上再生出一个小正三角形，
于是pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，
即sn=sn-1+bn-1×
| ||
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将bn-1，an的表达式代入得到：Sn=Sn-1+
| 3 |
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于是可以利用累加的方法得到
Sn=Sn-1+
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Sn-1=Sn-2+
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…
S2=S1+
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将上面式子累加得
Sn=S1+
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=[
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=
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点评：本题的关键是通过归纳得到pn的面积等于pn-1的面积加上bn-1个新增小三角形的面积，，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．属于难题．
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，已知
是边长为1的等边三角形，
是对
进行如下操作得到：将
）.
和
（
）,求
为曲线
的递推关系式，并求
，已知
是边长为1的等边三角形，
是对
进行如下操作得到：将
）．
和
（
）,求
为曲线
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是对
进行如下操作得到：将
）.
和
（
）,求
为曲线
的递推关系式，并求