Question

设函数f（x）=x²-alnx-bx+2，a，b∈R．
（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=2，求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）有2个不同的零点x₁，x₂，求证：a•f′(

x1+x2

2

)≥0．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=2，可得f（1）=2，f′（1）=0，从而可求出实数a，b的值；
（2）根据函数f（x）有2个不同的零点x₁，x₂，则

x

2 1

-alnx1-bx1+2=0，

x

2 2

-alnx2-bx2+2=0，将两式作差表示出x₁+x₂，求出导函数f′（x），从而得到a•f′(

x1+x2

2

)，然后利用换元法以及函数的单调性判断符号即可．

解答：解：（1）由题意得：

f(1)=2 f′(1)=0

，即

1-b+2=2 2-a-b=0

，
∴a=1，b=1；
（2）由于x₁，x₂是f（x）的两个不同的零点，可设x₁＜x₂，且

x

2 1

-alnx1-bx1+2=0，

x

2 2

-alnx2-bx2+2=0，
两式相减，可得：x1+x2=

a(lnx2-lnx1)

x1-x2

+b，
又f′(x)=2x-

a

x

-b，
从而f′(

x1+x2

2

)=x1+x2-b-

2a

x1+x2

=

a(lnx2-lnx1)

x2-x1

-

2a

x1+x2

=

a

x2-x1

[lnx2-lnx1-

2(x2-x1)

x2+x1

]=

a

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

]，
令t=

x2

x1

(t＞1)，g(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，则g′(t)=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(1-t)2

t(1+t)2

＞0，
则g（t）在（1，+∞）上单调递增，从而g（t）＞g（1）=0，
∴af′(

x1+x2

2

)=

a2

x2-x1

g(t)≥0．
故a•f′(

x1+x2

2

)≥0．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线，以及函数的零点，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．